MÉTODO DE CROSS

Dentro de la ingeniería estructural encontramos unos de los métodos que gran importancia en el análisis estructural de vigas y pórticos, se le es conocido como el método de Cross, expuesto en 1930, por el profesor Hardy Cross exponiendo su investigación llamada Analysis of continuous frames el método de aproximaciones sucesivas que lleva su nombre. El método de Cross es un procedimiento ideado para resolver el problema de las estructuras reticulares. El cálculo es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su desarrollo integraciones complejas ni sistemas de ecuaciones complicados. Es más, una vez comprendido el mecanismo del método, las operaciones matemáticas se reducen a sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Además, no exige recordar nada de memoria. Si se dispone de unas tablas de momentos, rigideces y factores de transmisión, puede resolverse cualquier estructura. Si, como es frecuente, se trata de estructuras con piezas de sección constante en cada vano y con cargas uniformemente distribuidas, ni siquiera es necesario el empleo de tablas. 

 El método de Cross es un método de aproximaciones sucesivas, que no significa que sea aproximado. Quiere decir que el grado de precisión en el cálculo puede ser tan elevado como lo desee el calculista. El método permite seguir paso a paso el proceso de distribución de momentos en la estructura, dando un sentido físico muy claro a las operaciones matemáticas que se realizan. En el siguiente desarrollo del trabajo de investigación estaremos dando a conocer cada procedimiento que desarrolla el método y su amplia aplicación dentro de la ingeniería estructural. 

En primera instancia consideramos una estructura reticular cargada. En primer lugar, se procede a retirar las cargas que actúan sobre sus piezas. A continuación, bloqueamos los nudos, impidiéndoles todo giro. Se vuelve ahora a aplicar las cargas exteriores, que actúan sobre una estructura alterada, ya que tiene impedido los giros de sus nudos. En este sentido no representa a la estructura verdadera, cuyos nudos hubieran girado bajo la acción de las cargas hasta alcanzar su posición de equilibrio. 

En la estructura alterada es muy fácil determinar los momentos de empotramiento, pues al estar los nudos bloqueados dichos momentos son los de empotramiento perfecto. La suma de los momentos de empotramiento de las piezas concurrentes en cada nudo no será nula, por lo que el nudo no estará en equilibrio. Dicha suma es, en realidad, un momento de desequilibrio. 

Se aplica al nudo un momento equilibrante, que es un momento de igual valor y de signo opuesto al momento de desequilibrio. Esto equivale a desbloquear el nudo. El momento equilibrante se repartirá entre los extremos de las distintas piezas concurrentes en el nudo en proporción a sus rigideces, puesto que al girar el nudo todas las piezas concurrentes giran el mismo ángulo. 

 La relación de la parte de momento equilibrante que se lleva cada pieza con el momento equilibrante total es lo que se denomina coeficiente de reparto o coeficiente de distribución, y es igual al cociente de la rigidez de la pieza considerada entre la suma de las rigideces de todas las piezas que concurren en el nudo. Por tanto, se distribuye el momento equilibrante entre las distintas piezas concurrentes en el nudo y se transmite el momento al extremo opuesto. 

En los demás nudos de la estructura se procede análogamente, por lo que también se habrán introducido momentos equilibrantes, distribuyéndose a las extremidades de sus piezas concurrentes, las cuales transmitirán una parte a sus extremidades opuestas. De esta manera se opera cíclicamente. Si en una fase posterior de cálculo volvemos a obtener en un nudo previamente equilibrado el momento de desequilibrio, éste será cada vez menor, de igual modo que las magnitudes de las transmisiones. Los nudos van equilibrándose paulatinamente y la estructura se va acercando a su posición de equilibrio. El método de Cross es un método que permite alcanzar la precisión que se desee mediante aproximaciones sucesivas. 

   ASPECTOS IMPORTANTES DEL MÉTODO DE CROSS

Las bases del método de Cross son las siguientes:

a. Hallar la relación entre el momento MA y el par de empotramiento MB, factor de transmisión.

b. Calcular la magnitud del ángulo girado a en función del momento aplicado MA, rigidez.

c. Encontrar la relación entre el momento aplicado en un nudo M, y el momento MA, que actúa sobre cada una de las barras de nudo, factor de reparto o de distribución. 

   RESUMEN DEL MÉTODO

1.      Se inicia el método considerando que todos los nudos del entramado son obstáculos rígidos quedando las barras totalmente incomunicadas entre ellas ya que una tendría en su extremo un empotramiento perfecto. 

Esto significa, que las barras que poseen cargas generarán en su extremo pares de empotramiento perfecto, que deberán ser calculados para aplicar el método.

2.      Se procede, se soltará nudos por nudos, de uno a la vez, dejando colgado los demás nudos y permitiendo que las barras de dicho nudo, entre las que hay continuas, interactúen.

Si en el nudo hay momentos, este girara, y dicho giro deberá ser equilibrado por las barras que ocurren al nudo, se produce una interacción entre las barras que llegan al nudo y una distribución de los esfuerzos en función de la rigidez de los elementos.

3.      Cada barra que roto, al asumir un momento, genera en su apoyo contrario un momento de respuesta, de igual sentido que el anterior y la mitad del valor de este.

Es decir, la barra asume un momento de valor M en el extremo que rota, y traspasa el otro extremo un momento de valor M/2.

Es posible anotar inmediatamente los traspasos que se originan cada vez que equilibramos un nudo, como también, podemos soltar y equilibrar todos los nudos, uno por uno, y después desarrollar una vuelta completa de equilibrios, efectuar todo lo correspondiente a apoyos contrarios.

4.      Al ejecutar los traspasos, los nudos la equilibrándose se vuelven a desequilibrar y será necesario repetir el ciclo de equilibrio y traspaso.

A medida que se complete un mayor número de vueltas, los desequilibrios van disminuyendo la magnitud, y nos acercamos más a los valores reales del momento en las barras, por eso este método es conocido también como el de aproximaciones sucesivas.

Se recomienda repetir dicho ciclo las veces que sea necesario, hasta que los desequilibrios remanentes no sean superiores al 10% del desequilibrio original de cada nudo.

El valor del momento final, en los extremos de cada barra corresponde a la suma de todos los mementos que fueron efectuados en los sucesivos ciclos de equilibrio y traspaso.